La edad de la Tierra

La edad de nuestro planeta fue durante mucho tiempo un problema que preocupó casi exclusivamente a sacerdotes y religiosos. Asignaron a la Tierra una edad con el único objetivo de afianzar sus enseñanzas bíblicas entre los fieles, que carecían de los conocimientos suficientes para poner en tela de juicio tales estimaciones. Ya en el s. VIII el monje benedictino Beda el Venerable indicó que la Tierra había sido creada en 3952 a. C. Ocho siglos más tarde, un erudito francés, Scaliger, estableció 3949 a. C. para tal evento y un siglo después, Lightfoot, un eclesiástico inglés, a la sazón vicerrector de la Universidad de Cambridge, se inclinó por 3929 a. C.

Pero quizá el más conocido de los que se aventuraron a pontificar sobre tal fecha fue un contemporáneo de Lightfoot, el obispo Ussher, originario de Dublín. En 1650, y habiendo calculado el número de generaciones que habían pasado desde Adán y Eva hasta sus días, escribió en su libro “Los anales del mundo” lo siguiente: “La Tierra fue creada entre el anochecer del sábado 22 y el amanecer del domingo 23 de octubre del año 4004 a. C. del Calendario Juliano.” También indicó que el 10 de noviembre del mismo año, Adán y Eva fueron expulsados del Paraíso y que tal día como el 5 de mayo de 2348 a.C., el Diluvio Universal tocó a su fin, dejando varada el Arca de Noé, según cuenta la tradición, en la cima del monte Ararat, el pico más alto de la actual Turquía.

Como decía, esta cuestión de la edad de la Tierra no interesó a los científicos durante siglos. Por ejemplo, no se tiene constancia de que griegos o árabes se hubiesen preocupado de ello. Sin embargo, a mediados del s. XVIII, algunos naturalistas hicieron especulaciones a partir del número de estratos geológicos encontrados en sus catas y de estimaciones del tiempo transcurrido entre ellos. Así, el ruso Lomonósov indicó que la Tierra podría tener varios cientos de miles de años de edad. Incluso hubo quien, como el escocés Hutton avanzó que no existían pruebas experimentales del principio de la Tierra ni indicios de que pudiera tener un final.

A mediados del s. XIX, tuvo lugar una encarnizada contienda sobre el tema. Thomson (el futuro Lord Kelvin) y algunos naturalistas seguidores de Darwin se enzarzaron en una discusión casi violenta. Éstos defendían una edad del orden de los miles de millones de años, a la vista de los largos plazos temporales requeridos para culminar los procesos geológicos; aquél se inclinaba por unos cientos de millones de años como máximo, de acuerdo con los resultados que le proporcionaba un cálculo del enfriamiento sufrido por la Tierra, que había realizado con un modelo simplificado de la misma.

El prestigio de Thomson le hizo ganar entonces la disputa, a pesar de estar completamente equivocado, como pudo demostrarse más tarde mediante distintos procedimientos. De todos ellos, probablemente el más preciso es el que se conoce como datación radiométrica que utiliza las propiedades de los núcleos radiactivos.

Existen varias alternativas según el tipo de radionúclidos que se consideren, pero aquí voy a describir el de las medidas de Rb-Sr en condritas (un cierto tipo de meteoritos rocosos, no metálicos). Muchos de los meteoritos encontrados en la Tierra son de este tipo. Deben su nombre a que una parte importante de su  volumen se encuentra ocupada por los denominados cóndrulos que son esferas de distintos minerales y de diámetros inferiores a 1 mm. La hipótesis fundamental es que los meteoritos se formaron contemporáneamente con la propia Tierra y el resto del Sistema Solar y que, por tanto, su datación nos da información fiable sobre la edad de la Tierra.

Los meteoritos siguen órbitas heliocéntricas algunas de las cuales intersecan la órbita terrestre. Las alteraciones que les produce su paso a través de la atmósfera sólo afectan a una delgada capa superficial, de manera que el interior del meteorito se encuentra en el mismo estado que mientras viajaba en el espacio interplanetario. Esta ausencia de cambios físicos y químicos hace que sean un laboratorio excelente para entender las características de la materia en los instantes iniciales de la formación del sistema solar, cuando la nube de polvo y gas creadas en la nucleosíntesis galáctica dieron lugar al Sol, los planetas y el resto de cuerpos que componen el sistema.

La llave de la cronología radiométrica es la ley exponencial de la desintegración radiactiva que puede formularse como

$latex N(^{A}X;t_{1})=N(^{A}X;t_{0})e^{-\lambda(^{A}X)(t_{1}-t_{0})}.$

Aquí $latex N(^{A}X;t_{0})$ y $latex N(^{A}X;t_{1})$ son los números de átomos del radionúclido $latex ^{A}X$ presentes en una muestra en el instante de tiempo $latex t_{0}$ y en otro instante posterior $latex t_{1}$, e es el número de Euler y $latex \lambda(^{A}X)$ es la denominada constante de desintegración radiactiva, que es característica de cada radioisótopo y que no varía con el tiempo.

En nuestro caso estamos interesados en los dos procesos radiactivos siguientes:

$latex ^{86}Rb\rightarrow ^{86}Sr+e^{-}+\bar{\nu}$

y

$latex ^{87}Rb\rightarrow ^{87}Sr+e^{-}+\bar{\nu}$

Se trata como vemos de dos desintegraciones de tipo $latex \beta^{-}$.

Los períodos de semidesintegración de estos dos radionúclidos son $latex T(^{86}Rb)=18,8 \text{ d\’ias}$ y $latex T(^{87}Rb)=4,8 \times 10^{10} \text{ a\~nos}$. Es interesante llamar la atención acerca del hecho de que dos isótopos del mismo elemento cuyos núcleos se diferencian tan sólo en que uno de ellos, el de $latex ^{87}Rb$, tiene un neutrón más que el otro, presentan un período de semidesintegración tan diferente.

Como vamos a tratar con intervalos de tiempo del orden de los cientos o miles de millones de años, el período de semidesintegración del $latex ^{86}Rb$ es, relativamente, muy pequeño y podemos afirmar entonces que el número de núcleos de este radioisótopo ha sido muy pequeño, prácticamente nulo, en cualquier instante posterior a su formación, es decir,

$latex N(^{86}Rb;t_{0})\approx N(^{86}Rb;t_{1})=0.$

Por tanto, el número de núcleos de $latex ^{86}Sr$ ha permanecido aproximadamente constante a lo largo del tiempo ya que no ha habido producción de nuevos núcleos de ese isótopo provenientes de desintegraciones de $latex ^{86}Rb$, con lo que

$latex N(^{86}Sr;t_{0})\approx N(^{86}Sr;t_{1}).$

Por otro lado, y teniendo en cuenta la ley exponencial de la desintegración, podemos escribir que

$latex N(^{87}Rb;t_{1})=N(^{87}Rb;t_{0})e^{-\lambda(^{87}Rb)(t_{1}-t_{0})}.$

Supongamos ahora que t0 es el instante en que la Tierra se formó y t1 el tiempo actual. Entonces podemos reescribir la ecuación anterior en la forma

$latex N(^{87}Rb;t_{1})=N(^{87}Rb;t_{0})e^{-\lambda(^{87}Rb)E_{Tierra}},$

donde $latex E_{Tierra}=t_{1}-t_{0}$ es la edad de la Tierra.

Si en el intervalo de tiempo transcurrido desde la formación de la Tierra no ha habido otra fuente de producción de $latex ^{87}Sr$ distinta a la desintegración del $latex ^{87}Rb$ que veíamos antes, se cumple que

$latex N(^{87}Rb;t_{1})+N(^{87}Sr;t_{1})=N(^{87}Rb;t_{0})+N(^{87}Sr;t_{0}).$

Operando en esta ecuación resulta

$latex N(^{87}Sr;t_{1})=N(^{87}Rb;t_{0})-N(^{87}Rb;t_{1})+N(^{87}Sr;t_{0}).$

y podemos escribir

$latex N(^{87}Sr;t_{1})=N(^{87}Rb;t_{1})e^{\lambda(^{87}Rb)E_{Tierra}}-N(^{87}Rb;t_{1})+N(^{87}Sr;t_{0})$

$latex =N(^{87}Rb;t_{1})[e^{\lambda(^{87}Rb)E_{Tierra}}-1]+N(^{87}Sr;t_{0}).$

Como el número de núcleos de $latex ^{86}Sr$ no ha cambiado nos queda

$latex \frac{N(^{87}Sr;t_{1})}{N(^{86}Sr;t_{1})}=\frac{N(^{87}Rb;t_{1})}{N(^{86}Sr;t_{1})}[e^{\lambda(^{87}Rb)E_{Tierra}}-1]+\frac{N(^{87}Sr;t_{0})}{N(^{86}Sr;t_{0})}.&s=1$

Llegados a este punto se determinan las cantidades que, en las muestras de meteoritos recogidos en la Tierra, existen de los elementos involucrados en el problema en el instante actual $latex t_{1}$, a saber, $latex N(^{87}Sr;t_{1})$, $latex N(^{86}Sr;t_{1})$ y $latex N(^{87}Rb;t_{1})$. Una vez obtenidos estos valores se dibuja un diagrama isócrono, en el que en el eje X figura la razón $latex N(^{87}Rb;t_{1})/N(^{86}Sr;t_{1})$ y en el eje Y la fracción $latex N(^{87}Sr;t_{1})/N(^{86}Sr;t_{1})$. Si las hipótesis realizadas son correctas, y de acuerdo a la ecuación anterior, los puntos deben alinearse.

En la figura se muestran 67 valores obtenidos de diferentes fuentes bibliográficas en las que se analizan varios meteoritos. El resultado de una regresión lineal de esos puntos experimentales es el siguiente: $latex m=0.063\pm 0.001$ y $latex b=0.704\pm 0.001$.

Entonces la fracción del número de núcleos de $latex ^{87}Sr$ y de $latex ^{86}Sr$ en el instante en que se formó la Tierra era

$latex \frac{N(^{87}Sr;t_{0})}{N(^{86}Sr;t_{0})}=0,704\pm 0,001.$

Por otro lado,

$latex e^{\lambda(^{87}Rb)E_{Tierra}}=m+1,$

con lo que nos queda finalmente que

$latex E_{Tierra}=\frac{1}{\lambda(^{87}Rb)}ln(m+1)=\frac{T(^{87}Rb)}{ln2}ln(m+1)=\frac{4,8\times10^{10}\text{a\~nos}}{0,693}ln(0,063+1)$

$latex \simeq 4,2\times 10^{9} \text{a\~nos},$

La incertidumbre de este valor de la edad de la Tierra es del orden de los $latex 10^{8} \text{a\~nos}.$

A pesar de la evidencia irrefutable de este resultado (y de otros similares), el problema de la edad de la Tierra se ha vuelto a plantear recientemente y los “creacionistas”, que ha ido creciendo en número, han logrado modificar la enseñanza de la ciencia en algunos estados de E.E.U.U, argumentando contra estos  resultados así como contra las evidencias geológicas y biológicas. Mantienen que la Tierra cuenta con apenas 10000 años de antigüedad. A los interesados en esta discusión les recomiendo el trabajo de G. Brent Dalrymple titulado “How Old is the Earth. A Response to «Scientific» Creationism” en el que se analizan los resultados científicos en los que se basan las “evidencias” de los creacionistas